设 MMM 是一个非空集合, φ:M→M, N⊆M\varphi : M \rightarrow M ,\ N \subseteq Mφ:M→M, N⊆M 。令 𝒜={P ∣ P⊆M𝒜 = \{ P \ | \ P \subseteq MA={P ∣ P⊆M 且 N⊆P, φ(P)⊆P}N \subseteq P , \ \varphi(P) \subseteq P \}N⊆P, φ(P)⊆P} , G=⋂P∈𝒜PG= \displaystyle\bigcap_{P \in 𝒜} PG=P∈A⋂P 。 试证:
G∈𝒜G \in 𝒜G∈A ;
N⋃φ(G)=GN \bigcup \varphi (G) = GN⋃φ(G)=G 。
证明:
∀x∈G,P∈𝒜\forall x \in G , P \in 𝒜∀x∈G,P∈A ,有 x∈Px \in Px∈P
所以 ∀x∈G,x∈M\forall x \in G , x \in M∀x∈G,x∈M ,即 G⊆MG \subseteq MG⊆M
∀x∈N,x∈P\forall x \in N ,x \in P∀x∈N,x∈P ,即 x∈⋂P∈𝒜P=Gx \in \displaystyle\bigcap_{P \in 𝒜} P = Gx∈P∈A⋂P=G ,所以 N⊆GN \subseteq GN⊆G
∀x∈G\forall x \in G∀x∈G ,有 φ(x)∈P\varphi (x) \in Pφ(x)∈P ,即 φ(x)∈⋂P∈𝒜P=G\varphi (x) \in \displaystyle\bigcap_{P \in 𝒜} P = Gφ(x)∈P∈A⋂P=G ,所以 φ(G)⊆G\varphi (G) \subseteq Gφ(G)⊆G
综上 G∈𝒜G \in 𝒜G∈A
先证 N⋃φ(G)⊆GN \bigcup \varphi (G) \subseteq GN⋃φ(G)⊆G 。
∀x∈N⋃φ(G)\forall x \in N \bigcup \varphi (G)∀x∈N⋃φ(G) , x∈N 或 x∈φ(G)x \in N \ 或 \ x \in \varphi (G)x∈N 或 x∈φ(G)
若 x∈Nx \in Nx∈N ,因为 N⊆GN \subseteq GN⊆G ,所以 x∈Gx \in Gx∈G 。
若 x∈φ(G)x \in \varphi (G)x∈φ(G) ,因为 φ(G)⊆G\varphi (G) \subseteq Gφ(G)⊆G ,所以 x∈Gx \in Gx∈G 。
所以 N⋃φ(G)⊆GN \bigcup \varphi (G) \subseteq GN⋃φ(G)⊆G 。
再证 G⊆N⋃φ(G)G \subseteq N \bigcup \varphi (G)G⊆N⋃φ(G) :
∀x∈G\forall x \in G∀x∈G ,
由于 N⊆GN \subseteq GN⊆G ,
若 x∈Nx \in Nx∈N , x∈N⋃φ(G)x \in N \bigcup \varphi (G)x∈N⋃φ(G)
若 x∉Nx \notin Nx∈/N , 则 x∈G\Nx \in G \backslash Nx∈G\N
下证: ∀x∈G\N, φ(x)∉N\forall x \in G \backslash N, \ \varphi (x) \notin N∀x∈G\N, φ(x)∈/N 。
假设 φ(x)∈N\varphi (x) \in Nφ(x)∈N ,那么 G\x∈𝒜G \backslash x \in 𝒜G\x∈A ,与 G=⋂P∈𝒜PG= \displaystyle\bigcap_{P \in 𝒜} PG=P∈A⋂P 矛盾。
故 ∀x∈G\N, φ(x)∉N\forall x \in G \backslash N, \ \varphi (x) \notin N∀x∈G\N, φ(x)∈/N
即 ∀x∈G\N, φ(x)∈G\N\forall x \in G \backslash N, \ \varphi (x) \in G \backslash N∀x∈G\N, φ(x)∈G\N
再下证: φ:G\N→G\N\varphi : G \backslash N \rightarrow G \backslash Nφ:G\N→G\N 是双射。
假设 φ:G\N→G\N\varphi : G \backslash N \rightarrow G \backslash Nφ:G\N→G\N 不是满射,
即 ∃y∈G\N, s.t. φ−1(y)=∅\exist y \in G \backslash N , \ s.t. \ \varphi ^{-1} (y) = \empty∃y∈G\N, s.t. φ−1(y)=∅ ,
那么 G\y∈𝒜G \backslash y \in 𝒜G\y∈A ,与 G=⋂P∈𝒜PG= \displaystyle\bigcap_{P \in 𝒜} PG=P∈A⋂P 矛盾。
所以 φ:G\N→G\N\varphi : G \backslash N \rightarrow G \backslash Nφ:G\N→G\N 是满射,也是双射。
即 φ(G\N)=G\N\varphi (G \backslash N) = G \backslash Nφ(G\N)=G\N
所以 x∈G\N=φ(G\N)⊆φ(G)x \in G \backslash N = \varphi (G \backslash N) \subseteq \varphi (G)x∈G\N=φ(G\N)⊆φ(G) 。